Calcul de cos(11pi/12) et sin(11pi/12) - Corrigé

Énoncé

1. Calculer de deux manières différentes la forme algébrique du produit ${\text{e}}^{\frac{2i\pi }{3}}\times {\text{e}}^{\frac{i\pi }{4}}$ .

2. En déduire la valeur exacte de $\cos \left({\displaystyle \frac{11\pi }{12}}\right)$ et de $\sin \left({\displaystyle \frac{11\pi }{12}}\right)$ .

Solution

1. D'une part :
$\begin{array}{rl}{\text{e}}^{\frac{2i\pi }{3}}\times {\text{e}}^{\frac{i\pi }{4}}& =(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})\\ & =(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})\\ & =-\frac{\sqrt{2}}{4}-i\frac{\sqrt{2}}{4}+i\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4}\\ & =-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.\end{array}$
D'autre part :   $\begin{array}{rl}{\text{e}}^{\frac{2i\pi }{3}}\times {\text{e}}^{\frac{i\pi }{4}}={\text{e}}^{\frac{2i\pi }{3}+\frac{i\pi }{4}}={\text{e}}^{i(\frac{2\pi }{3}+\frac{\pi }{4})}& ={\text{e}}^{i\frac{11\pi }{12}}=\cos \left(\frac{11\pi }{12}\right)+i\sin \left(\frac{11\pi }{12}\right).\end{array}$

2. D'après la question précédente, et par unicité de la forme algébrique, on obtient

• d'une part, en considérant la partie réelle de ${\text{e}}^{\frac{2i\pi }{3}}\times {\text{e}}^{\frac{i\pi }{4}}$ : $\begin{array}{r}\cos \left(\frac{11\pi }{12}\right)=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4};\end{array}$
• d'autre part, en considérant la partie réelle de ${\text{e}}^{\frac{2i\pi }{3}}\times {\text{e}}^{\frac{i\pi }{4}}$ :  $\begin{array}{r}\sin \left(\frac{11\pi }{12}\right)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.\end{array}$