Calcul de cos(11pi/12) et sin(11pi/12) - Corrigé

Énoncé

1. Calculer de deux manières différentes la forme algébrique du produit \(\text e^{\frac{2i\pi}{3}} \times \text e^{\frac{i\pi}{4}}\) .

2. En déduire la valeur exacte de \(\cos\left(\dfrac{11\pi}{12}\right)\) et de \(\sin\left(\dfrac{11\pi}{12}\right)\) .

Solution

1. D'une part :
\(\begin{align*}\text e^{\frac{2i\pi}{3}} \times \text e^{\frac{i\pi}{4}}& = \left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\\& = \left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\& = -\frac{\sqrt{2}}{4}-i\frac{\sqrt{2}}{4}+i\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4}\\& = -\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.\end{align*}\)
D'autre part :   \(\begin{align*}\text e^{\frac{2i\pi}{3}} \times \text e^{\frac{i\pi}{4}}= \text e^{\frac{2i\pi}{3}+\frac{i\pi}{4}}= \text e^{i\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)}& = \text e^{i\frac{11\pi}{12}}= \cos\left(\frac{11\pi}{12}\right)+i\sin\left(\frac{11\pi}{12}\right).\end{align*}\)

2. D'après la question précédente, et par unicité de la forme algébrique, on obtient

• d'une part, en considérant la partie réelle de \(\text e^{\frac{2i\pi}{3}} \times \text e^{\frac{i\pi}{4}}\) : \(\begin{align*}\cos\left(\frac{11\pi}{12}\right)=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} ;\end{align*}\)
• d'autre part, en considérant la partie réelle de \(\text e^{\frac{2i\pi}{3}} \times \text e^{\frac{i\pi}{4}}\) :  \(\begin{align*}\sin\left(\frac{11\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.\end{align*}\)